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<!DOCTYPE html>

<title>Gaußsche Trapezformel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Gaußsche Trapezformel</h1>

</header>

</div>

Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a>) ist es möglich, die Fläche eines einfachen <a href="Polygon" title="Polygon">Polygons</a> zu berechnen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Dabei wird jeder Polygonkante ein <a href="Trapez_(Geometrie)" title="Trapez (Geometrie)">Trapez</a> (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze.

Eine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform, deren Analogon für stückweise glatte Kurven die <a href="Sektorformel_von_Leibniz" title="Sektorformel von Leibniz">Sektorformel von Leibniz</a> ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Prinzip_und_die_Formel">Das Prinzip und die Formel</h2></div>

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,...n}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,...n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee3e76e1916d3726e4271be4558d0c7caa317bb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,...n}" loading="lazy"> des Polygons im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Punkte mit wachsendem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn) durchlaufen werden. Aus praktischen Gründen wird angenommen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/159bd340fa3c0a6fea2efddff4080f28afdf3ea5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.456ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}" loading="lazy"> ist. Der Kante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{i}P_{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{i}P_{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbc6b39b4954dfc181f58d287489762b1c63b8b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.684ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{i}P_{i+1}}" loading="lazy"> wird dann der Flächeninhalt

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f135ebc4b37013e09a5689a28a8415f0d379e1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:28.936ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}" loading="lazy"></dd></dl>

des Trapezes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12ae9c3e2c44a6b5efb04c6dda9f9810489dba32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.497ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}" loading="lazy"> zugeordnet.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e3ae4c02cb2f0eadc3f78d6a6f5ec10b949b3c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.458ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}" loading="lazy"> so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" loading="lazy"> negativ, im anderen Fall positiv oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc4cf7d055f2212f18fc02158abd4395642d63a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.804ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}=0}" loading="lazy"> falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0eb61fea0a7cf326f853e3f7e46472585f0fab3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.458ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}" loading="lazy"> ist. In der Zeichnung ist die Orientierung der Kanten durch Pfeile gekennzeichnet. An der Farbe der Pfeile ist das Vorzeichen der jeweiligen Trapezfläche zu erkennen: rot steht für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}<0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21c4f65bc7c593557887c3d22c49bf5c02adf05a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.804ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}<0}" loading="lazy">, grün für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}>0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b456fd90b7c5dd3dcad20097452c6252ed41c6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.804ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}>0}" loading="lazy">. Im ersten Fall heißt das Trapez negatives Trapez, im zweiten Fall positives Trapez. Die negativen Trapeze löschen die außerhalb des Polygons liegenden Flächenteile positiver Trapeze. Am einfachsten ist dies an dem Beispiel eines konvexen Polygons (im Bild oben) zu erkennen: Der Flächeninhalt des Polygons ist gleich der Summe der Flächeninhalte aller positiven Trapeze (mit grünen Kanten) minus den Flächeninhalten aller negativen Trapeze (mit roten Kanten).

Für den Flächeninhalt, des von dem Polygon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},...,P_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},...,P_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80f5fe7e45c0cabcc749ed52e73c0ed0e94533c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.427ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},...,P_{n}}" loading="lazy"> eingeschlossenen Gebiets ergibt sich also

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40025faf9c8005b3a29615579bb986c80eae41f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.219ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}" loading="lazy"></dd>

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</mrow>

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</mstyle>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{\color {red}1})(x_{n}-x_{\color {red}1}){\Big )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76d14ab44175a96af7abf4524e2570182e49da23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:55.191ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{\color {red}1})(x_{n}-x_{\color {red}1}){\Big )}}" loading="lazy"></dd></dl>

Multipliziert man die Klammern aus und beachtet

</mrow>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d37de0721751849edfd58d55aba76bdefb5638a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.92ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}" loading="lazy">, erhält man die Determinantenform der Flächenformel:

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c2c90df2bac93887967041f818f8449016b5187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:47.523ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

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</mrow>

</msub>

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</mstyle>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad ={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{\color {red}1}-x_{\color {red}1}y_{n}{\Big )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/248e93b4c3ec838255c3ff76aaced3cbf429ac36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.595ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \qquad ={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{\color {red}1}-x_{\color {red}1}y_{n}{\Big )}}" loading="lazy">

Da die Hälfte der <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> die vorzeichenbehaftete <a href="Dreiecksfl%C3%A4che" title="Dreiecksfläche">Fläche des Dreiecks</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0ee5c5be83eba8b5c47fff4a6acac62f3e6fc13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.458ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}" loading="lazy"> ist, wird diese Formel auch als Dreiecksform bezeichnet.

Setzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{0}=P_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{0}=P_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/723cb10b97f824978e2fb8259d68aa6886f40a25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.356ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{0}=P_{n}}" loading="lazy"> (zusätzlich zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}</annotation>

</semantics>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d6292bc0769119dbaca61ac905ec0522bcf2e7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.469ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }" loading="lazy"> und

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

<msub>

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</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\color {red}x_{i-1}y_{i}}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ee19a6e7efcd7c355edf250656a2e6271722a87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:77.868ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\color {red}x_{i-1}y_{i}}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Führt man beide Summen wieder zusammen und klammert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> aus, so erhält man eine weitere Darstellung der Flächenformel:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

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</mrow>

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</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7d97cd80984bcfc229f3a100ba098db6311950c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.018ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}" loading="lazy"></dd>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{\color {red}n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{\color {red}1}){\Big )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fffbc9bae832cad079263c7e3e4fd0befd86b7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:58.221ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{\color {red}n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{\color {red}1}){\Big )}}" loading="lazy"></dd></dl>

Verwendet man

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i-1}\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70507553be8aae1f140ddca2e00a4dc040ff970a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.469ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i-1}\ }" loading="lazy"> erhält man

<mfrac>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb72b5c0be4e558771b158266a10ec39e372b3a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.827ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}" loading="lazy"></dd></dl>

Geht man von einem Polygon mit negativer Orientierung aus, ist auch der Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> negativ.

Hinweis: In der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> ist die x-Achse vertikal und y-Achse horizontal und die Orientierung des Polygons entgegengesetzt. Vertauschen der Koordinaten und der Orientierung des Polygons bewirken bei der Anwendung der Formeln keine Änderung. Falls man eine dieser Änderungen nicht beachtet, erhält man mit den obigen Formeln in jedem Fall mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |A|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |A|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/648fce92f29d925f04d39244ccfe435320dfc6de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |A|}" loading="lazy"> den gesuchten Flächeninhalt.

Die beiden letzten Formeln werden in Büchern über Vermessungskunde auch als Gaußsche Dreiecksformeln bezeichnet.<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>

Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der <a href="Satz_von_Pick" title="Satz von Pick">Satz von Pick</a> anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel problemlos durch Polygone <a href="Approximieren" class="mw-redirect" title="Approximieren">approximieren</a>, so dass man leicht an einen <a href="N%C3%A4herungswert" title="Näherungswert">Näherungswert</a> kommen kann.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel_und_Schnürsenkel-Schema">Beispiel und Schnürsenkel-Schema</h2></div>

Für das 5-Eck mit den Punkten

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/841b434c58b2da6120e13faef0211a4165cfde61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.154ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961bb895f8655016c59e9677e5bb75ecbebfa46b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.66ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2A={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0992e203687549ccfad3a9a2ce3f1bfa57257e0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:50.829ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle 2A={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \ =1-18\;+6-7\;+28-8\;+20-32\;+48-5=33}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c460cb5de7123da561417247712be572d99e8f52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:57.006ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \quad \ =1-18\;+6-7\;+28-8\;+20-32\;+48-5=33}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \;A=16{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f421552ad6a496f67447f39cd75a6d4aebbcf86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.202ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \;A=16{,}5}" loading="lazy"></dd></dl>

In der englischen Literatur gibt es ein Schema, das das Berechnen der 2x2-Determinanten optimiert: Das Schnürsenkel-Schema (engl. shoelace formula) (siehe Bild). Diese plastische Beschreibung zeigt die praktische Bedeutung der Gaußschen Trapezformel. Statt 10 Spalten genügen bei dieser Methode 6 Spalten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-06809-0, S. 116.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Josef Schlesinger: Der Tachygraph. Centralblatt für das gesamte Forstwesen: Organ der K.K. Forstlichen Versuchsanstalt in Mariabrunn, Band 2, Wien, 1876, S. 243.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Martin Näbauer: Vermessungskunde. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-41866-6, S. 341.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Heribert Kahmen: Vermessungskunde. Walter de Gruyter, 2020, ISBN 978-3-11-087406-8, S. 259.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblink">Weblink</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://fddm.uni-paderborn.de/fileadmin-eim/mathematik/Didaktik_der_Mathematik/Bender_Peter/Veroeffentlichungen/2010FlaecheninhaltPolygone.pdf">P. Bender, Uni Paderborn: Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Beat Brüderlin, Andreas Meier: Computergrafik und Geometrisches Modellieren. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80111-1, S. 36.</li>

<li>P. Grobstich, G. Strey: Mathematik für Bauingenieure. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80051-0, S. 113 (Dreiecksregel)</li>

<li>Pietro Labranca: Probleme der Festigkeitslehre: Berechnung der Querschnittswerte und der Spannungen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-663-13976-8, S. 69.</li>

<li>Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt, 1977, S. 318.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>